题目内容
（本题满分16分 ）
在平面直角坐标系中，椭圆C：
(a＞b＞0)，圆O：x2+y2=a2，且过点A（，0）所作圆的两条切线互相垂直．
（Ⅰ）求椭圆离心率；
（Ⅱ）若直线y=2与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；
（Ⅲ）设点T（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点P的最远距离不大于5，求椭圆C的短轴长的取值范围．
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（Ⅰ）由条件：过点A（，0）作圆的两切线互相垂直，
∴OA=a，即：=a，∴e=． …………………………………………………3分
（Ⅱ）∵e=，∴a2=2c2，a2=2b2，∴椭圆C：+=1． …………………………………………5分
得x2=a2－12，∴DE=2,
得x2=2b2－24，∴MN=
, …………………………………7分
由DE=2MN，得：
=4（2b2－24），∴2b2－12=4（2b2－24）解得：b2=14，a2=28，
∴椭圆方程为：
． …………………………………………………9分
（Ⅲ）∵点T（0，3）在椭圆内部，∴b＞3，
设P（x，y）为椭圆上任一点，则
PT2=x2+(y－3)2=2b2－2y2+(y－3)2=－(y+3)2+2b2+18，其中，－b＜y＜b， …………………12分
∵b＞3，∴－b＜－3，
∴当y=－3时，PT2的最大值2b2+18． ……………………………………………………14分
依题意：PT≤5，∴PT2≤50，
∴2b2+18≤50，∴0＜b≤4，
又∵b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8，
∴椭圆C的短轴长的取值范围6＜b≤8． …………………………………………………16分
（
，
、
是常数，且
），对定义域内任意
（
且
），恒有
成立．
的解析式，并写出函数的定义域；
．
的前
项和为
，且
．数列
中，
，
．（1）求数列
使数列
是等比数列，求数列
；②
．
在
上的单调性；
，使
，则称
的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求
的值；
在