Question

(本题满分16分)

设f(x)＝x³，等差数列{a_n}中a₃＝7，，记S_n＝，令b_n＝a_nS_n，数列的前n项和为T_n．

（1）求{a_n}的通项公式和S_n；                  

（2）求证：T_n＜；

（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设数列的公差为，由，．

解得,＝3,∴∵

∴S_n＝＝．…4分

(2)  ，∴  

∴。                     ………………………8分

(3)由(2)知，    ∴，

  ∵成等比数列．

∴ ，即………………………9分

当时，7，＝1，不合题意；

当时，，＝16，符合题意；………………………10分

当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解； ………………………12分

当时， ，则，而，

所以，此时不存在正整数m，n，且1<m<n，使得成等比数列． ………15分

综上，存在正整数m＝2，n＝16，且1<m<n，使得成等比数列．…………16分