Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，CD=2，A₁D⊥平面ABCD，AA₁与底面ABCD所成
角为θ，∠ADC=2θ．
（1）若θ=45°，求直线A₁C与该平行六面体各侧面
所成角的最大值；
（2）求平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V的取值范围．

Answer 1

分析：（1）找出直线A₁C与该平行六面体各侧面所成角，然后利用向量或者利用余弦定理，分别解出即可比较大小．
（2）求平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V的取值范围，先求底面面积，再求高，根据题意，中θ的取值即可求得体积范围．

解答：（1）由平行六面体的性质，知
直线A₁C与该平行六面体各侧面所成角的大小有两个，
其一是直线A₁C与侧面AA₁D₁D所成角的大小，记为α；
其二是直线A₁C与侧面AA₁B₁B所成角的大小，记为β．∵θ=45°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD
又∵A₁D⊥平面ABCD，∴CD⊥A₁D∴CD⊥平面AA₁D₁D，
所以，∠CA₁D即为所求．（2分）
所以，α=arctan2（1分）
分别以DA，DC，DA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
可求得

A1C

=(0，2，-1)，侧面AA₁B₁B的法向量

n

=(1，0，1)，
所以，

A1C

与

n

所在直线的夹角为arccos

10

10

∴β=90°-arccos

10

10

或arcsin

10

10

．
所以，直线A₁C与侧面AA₁B₁B所成角的大小为90°-arccos

10

10

或arcsin

10

10

．（3分）
综上，直线A₁C与该平行六面体各侧面所成角的最大值为arctan2．（1分）
（2）由已知，有DA₁=tanθ，（1分）
由面积公式，可求四边形ABCD的面积为2sin2θ，（2分）
平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=2sin2θ•tanθ=4sin²θ．（2分）
所以，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V的取值范围为（0，4）．（2分）

点评：本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，考查线面角，体积最值等知识，是难题．