Question

（本题14分）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即．

（1）设，求集合A和B；

（2）若，，求实数的取值范围；

（3）若，求证：．

 

Answer 1

（1），；（2）；

【解析】

试题分析：（1）紧扣题中给出的“不动点”和“稳定点”的定义，准确列出关于的方程，求得集合A和B；（2）利用“不动点”和“稳定点”的定义，分别讨论参数和两种情况且注意分母不能为0，求出集和，再由，确定的取值范围；（3）利用“不动点”和“稳定点”的定义，分别讨论参数和两种情况，求出集和，证得结论．本题属于创新型问题，在求解时关键在于准确把握新定义，正确应用新定义和相关知识求解所给的问题，要在理解新定义上下功夫，在应用新定义解决所给问题上做文章．具体到本题中，函数的“不动点”本质就是方程的解，函数的“稳定点”本质就是方程的解，只要能牢牢把握这一本质，就能解好本题目．

试题解析：（1）由，得，解得； 1分

由，得，解得. 2分

所以集合，. 4分

（2）①若，则，符合题意； 5分

②若，由题意有：，

注意：，验证得：不是方程的根；

∴； 6分

，

注意：且，

验证得：和都不是方程的根，

∴； 8分

∴；∵，∴，∴方程有解，

∴且； 9分

综上，实数的取值范围是． 10分

（3）①若，，结论成立； 11分

②若，由得，则 12分

∵

考虑方程：，∵，∴方程无解．

∴； 13分

∴． 14分

考点：①含参数的一元二次方程解法；②集合与集合的关系．