Question

已知函数y=ax³+bx²，当x=1时，有极大值3
（1）求函数的解析式
（2）写出它的单调区间
（3）求此函数在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）y′=3ax²+2bx，当x=1时，y′|_x=1=3a+2b=0，y|_x=1=a+b=3，
即

3a+2b=0 a+b=3

，解得a=-6，b=9，
所以函数解析式为：y=-6x³+9x²．
（2）由（1）知y=-6x³+9x²，
y′=-18x²+18x，令y′＞0，得0＜x＜1；令y′＜0，得x＞1或x＜0，
所以函数的单调递增区间为（0，1），函数的单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）．
（3）由（2）知：当x=0时函数取得极小值为0，当x=1时函数取得极大值3，
又y|_x=-2=84，y|_x=2=-12．
故函数在[-2，2]上的最大值为84，最小值为-12．