题目内容

设F₁，F₂是双曲线 $数学公式$ 的左，右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使 $数学公式$ ，且△F₁PF₂的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
2
D.
5

D
由已知可得，PF₁＞PF₂，PF₁⊥PF₂，由△F₁PF₂的三边长构成等差数列，可得2PF₁=F₁F₂+PF₂，结合双曲线的定义，PF₁=PF₂+2a，利用勾股定理可得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，代入可求
解答：由P为双曲线的右支上一点可知，PF₁＞PF₂
∵ $\text{[math]}$
∴PF₁⊥PF₂
∴F₁F₂＞PF₁＞PF₂
由△F₁PF₂的三边长构成等差数列，可得2PF₁=F₁F₂+PF₂=2c+PF₂①
又由双曲线的定义可知，PF₁-PF₂=2a即PF₁=PF₂+2a②
①②联立可得，PF₂=2a-4a，PF₁=2c-2a
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即（2c-4a）²+（2c-2a）²=4c²
整理可得，c²-6ac+5a²=0
∵c＞a
∴c=5a
∴e=5
故选D
点评：本题主要考查了双曲线的定义及性质在求解双曲线方程中的应用，解题的关键是确定等差数列的中间项．

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