Question

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值与零点；
（Ⅱ）设g（x）=

1-x

kx

+lnx，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直可得f′（2）=-5，从而可求得m值，利用导数即可求得其极值，对于f（x）的零点可转化为f（x）=0的根求解；
（Ⅱ）“对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）”等价于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在（0，1]上的最小值，
由（Ⅰ）易求f（x）_min，利用导数可求g（x）在（0，1]上的最小值，注意按k的范围进行讨论．

解答：解：（Ⅰ）因为f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得：m=-1或m=-7，又m＞-2，所以m=-1，
由f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x2=

1

3

，
列表如下：

x	(-∞， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值 50 27	↗	极大值2	↘

所以f(x)极小值=f(

1

3

)=

50

27

，f（x）_极大值=f（1）=2，
因为f（x）=-x³+2x²-x+2=-（x-2）（x²+1），
所以函数f（x）的零点是x=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈[0，1]时，f(x)min=

50

27

，
“对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）”等价于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在（0，1]上的最小值，
即当x∈（0，1]时，g(x)min＜

50

27

”，
因为g′(x)=-

1

kx2

+

1

x

=

x- 1 k

x2

，
①当k＜0时，因为x∈（0，1]，
所以g(x)=

1-x

kx

+lnx≤0＜

50

27

，符合题意；
②当0＜k≤1时，

1

k

≥1，
所以x∈（0，1]时，g'（x）≤0，g（x）单调递减，
所以g(x)min=g(1)=0＜

50

27

，符合题意；
③当k＞1时，0＜

1

k

＜1，
所以x∈(0，

1

k

)时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，x∈(

1

k

，1)时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x∈（0，1]时，g(x)min=g(

1

k

)=1-

1

k

+ln

1

k

，
令φ(x)=lnx-x-

23

27

（0＜x＜1），则φ′(x)=

1

x

-1＞0，
所以φ（x）在（0，1）上单调递增，
所以x∈（0，1）时，φ(x)＜φ(1)=-

50

27

＜0，即lnx-x＜

23

27

，
所以g(x)min=g(

1

k

)=1-

1

k

+ln

1

k

＜1+

23

27

=

50

27

，符合题意，
综上所述，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，
则实数k的取值范围是（-∞，0）∪（0，+∞）．

点评：本题考查导数的综合应用：求函数极值、最值及不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．