Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）为了计算前三项a₁，a₂，a₃的值，只要在递推式S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1中，对n取特殊值n=1，2，3代入求解即可；
（2）数列通项公式和前n项和公式之间的关系式，即an=

s1      n=1 sn-sn-1  n≥2

，求出a_n=2a_n-1+2×（-1）^n-1，只要对a_n=2a_n-1+2×（-1）^n-1的两边同除以（-1）ⁿ，构造新的等比数列进行求解．

解答：解：（1）由a₁=S₁=2a₁-1，得a₁=1；
由a₁+a₂=S₂=2a₂+（-1）²，得a₂=0；
由a₁+a₂+a₃=S₃=2a₃+（-1）³，得a₃=2．（6分）
（2）由a₁=S₁=2a₁-1，得a₁=1；
当n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-a_n-1）+2×（-1）ⁿ，
即a_n=2a_n-1+2×（-1）^n-1，
只要对a_n=2a_n-1+2×（-1）^n-1的两边同除以（-1）ⁿ，得

an

(-1)n

=-2•

an-1

(-1)n-1

-2．
令bn=

an

(-1)n

，有b_n=-2b_n-1-2，于是bn+

2

3

=-2(bn-1+

2

3

)，
∴数列{bn+

2

3

}是等比数列，公比q=-2，首项b₁=-1，
bn+

2

3

=(b1+

2

3

)•(-2)n-1=(-

1

3

)•(-2)n-1，
即

an

(-1)n

+

2

3

=(-

1

3

)•(-2)n-1，经验证n=1时也成立，
故有an=

2

3

[2n-2+(-1)n-1]，n≥1．

点评：本题考查了数列通项公式和前n项和公式之间的关系式，即an=

s1      n=1 sn-sn-1  n≥2

，本题的难点是需要观察通项公式的特点，再进行构造新的等比（等差）数列，注意验证n=1时是否成立，这是容易忽视的地方，考查了观察能力和知识迁移能力．