Question

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f（x）=

3x

9x+1

．求f（x）在[-2，2]上的解析式．

Answer 1

分析：当-2＜x＜0时，0＜-x＜2，利用x∈（0，2）时，f（x）=

3x

9x+1

，可得f（x）=-f（-x）=-

3x

9x+1

，当x=0时，由f（-0）=-f（0），可得f（0）=0，又f（x）的最小正周期4，可得f（-2）=f（2）=0，由此可求f（x）在[-2，2]上的解析式．

解答：解：当-2＜x＜0时，0＜-x＜2
∵x∈（0，2）时，f（x）=

3x

9x+1

，
∴f（-x）=

3-x

9-x+1

=

3x

9x+1

，
又f（x）为奇函数，f（x）=-f（-x）=-

3x

9x+1

，
当x=0时，由f（-0）=-f（0），∴f（0）=0，又f（x）的最小正周期4，
∴f（-2）=f（-2+4）=f（2），∴f（-2）=f（2）=0
综上，f（x）=

3x 9x+1 ，0＜x＜2 0，x∈{-2，0，2} - 3x 9x+1 ，-2＜x＜0

．

点评：本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，解题的关键是掌握求哪设哪的原则．