Question

设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²
（Ⅰ）若a=

1

2

，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；
（II）f（x）=x（e^x-1-ax），令g（x）=e^x-1-ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．

解答：解：（I）a=

1

2

时，f（x）=x（e^x-1）-

1

2

x²，

f′(x)=ex-1+xex-x

=（e^x-1）（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞0；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜0；
∴函数的单调增区间是（-∞，-1），（0，+∞）；单调减区间为（-1，0）；
（II）f（x）=x（e^x-1-ax）．
令g（x）=e^x-1-ax，则g'（x）=e^x-a．
若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．
综合得a的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．