Question

已知函数f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx．
（I ）若函数y=f（x）在处取得极值，求满足条件的a的值；
（II）当a时，f（x）在（1，2）上单调递减，求a的取值范围；
（III）是否存在正实数a，使得函数y=f（x）在内有且只有两个零点？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用导数的运算法则求出导函数，利用极值点处的导数为0，列出方程求出a的值．
（II）对a分类讨论令导函数小于0求出递减区间，得到（1，2）的端点的范围，列出不等式求出a的范围．
（III）令导函数为0求出函数的单调性与最小值；结合函数的草图，只要最小值小于0，两个端点的值大于0即可，列出不等式组，求出a的范围．
解答：解：（I）=
有已知得
∴
（II）f（x）的定义域为（0，+∞）
当a≥0时，由1＜x＜2知f′（x）＞0∴f（x）在（1，2）递增，不符合题意
当时，∵又∵x＞令
∵f（x）在（1，2）上递减∴∴
总之
（III）令f′（x）=0
∵a＞0解得
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
要使y=f（x）在（）内有且仅有两个零点，只需即
∴∵∴
∵
∴
点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用导数求函数的单调区间及极值，并能解决函数的零点个数问题．