Question

已知p:方程x²+mx+1=0有两个不等的负根；q:方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.

Answer 1

思路分析：该题是方程与命题的综合题，涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系，一元二次不等式与不等式组，集合的补集，p或q，p且q两类复合命题的真假的判断.若p或q为真,p且q为假，说明一真一假.可列不等式组求解.

解：若方程x²+mx+1=0有两个不等的负根,则

    解得m＞2,即p:m＞2.

    若方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根,则Δ=16（m-2）²-16=16（m²-4m+3）＜0,解得1＜m＜3,即q:1＜m＜3.因p或q为真,所以p、q至少有一个为真.又p且q为假,所以p、q至少有一个为假.因此,p、q两命题应一真一假,即p为真,q为假,或p为假,q为真.

    所以或

    解得m≥3或1＜m≤2.

方法归纳 由简单命题的真假可根据真值表来判断复合命题的真假.反过来,由复合命题的真假也应能准确判定构成此复合命题的简单命题的真假情况,简单命题的真假也应由真值表来判断.如“p且q”为假,应包括“p真q假”“p假q真”“p假q假”这三种情况.