题目内容
已知
为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，记点P的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）判断原点O关于直线x+y-1=0的对称点R是否在曲线Γ包围的范围内？说明理由．
（注：点在曲线Γ包围的范围内是指点在曲线Γ上或点在曲线Γ包围的封闭图形的内部）
（Ⅲ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且
．试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论．
【答案】分析：（I）利用椭圆的定义可知：点P的轨迹是以
为焦点，4为长轴长的椭圆． 据此即可求出．
（II）解法一：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），利用点关于直线的对称点的性质得
，解出即可得到点R的坐标，判定是否满足在椭圆内部的条件即可；
解法二：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），利用点关于直线的对称点的性质得：
，解得
即R（1，1）．得出直线OR的方程：y=x．与椭圆的方程联立求出其交点G，H，判断点R是否在线段GH上即可；
（Ⅲ）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．利用
得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），代入
并整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2-4=0，满足△＞0，即可得到根与系数的关系，进而得到点C的坐标，利用斜率计算公式即可判断直线AB与OC的斜率之积是否定值；
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．利用
得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．因为点A（x1，y1），B（x2，y2），在椭圆上，所以有：
，
，再利用“点差法”即可判断出结论．
解答：解：（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点
的距离之和为定值4，
所以点P的轨迹是以
为焦点的椭圆．
又
，所以
．
故所求方程为
．
（Ⅱ）解法一：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），由点关于直线的对称点的性质得：
，解得
即R（1，1）．
此时
，
∴R在曲线Γ包围的范围内．
解法二：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），
由点关于直线的对称点的性质得：
，解得
即R（1，1）．
∴直线OR的方程：y=x．
设直线OR交椭圆
于G和H，
由
得：
或
即
，
．
显然点R在线段GH上．
∴R在曲线Γ包围的范围内．
（Ⅲ）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．
由
得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．
可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），代入
并整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2-4=0，
依题意，△＞0，则
，y1+y2=k（y1+y2）+2n=
，
从而可得点C的坐标为
，
．
因为
．
所以直线AB与OC的斜率之积为定值．
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．
由
得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．
因为点A（x1，y1），B（x2，y2），在椭圆上，所以有：
，
两式相减，整理得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，
从而有
．
又x1+x2=-x3，y1+y2=-y3，
，
．
因为
．
所以直线AB与OC的斜率之积为定值．
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、向量的运算、斜率的计算公式、点差法、轴对称等基础知识与基本方法，考查了多种方法解决同一个问题、推理能力和计算能力．
为焦点，4为长轴长的椭圆． 据此即可求出．（II）解法一：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），利用点关于直线的对称点的性质得
，解出即可得到点R的坐标，判定是否满足在椭圆内部的条件即可；解法二：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），利用点关于直线的对称点的性质得：
，解得即R（1，1）．得出直线OR的方程：y=x．与椭圆的方程联立求出其交点G，H，判断点R是否在线段GH上即可；（Ⅲ）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．利用
得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），代入并整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2-4=0，满足△＞0，即可得到根与系数的关系，进而得到点C的坐标，利用斜率计算公式即可判断直线AB与OC的斜率之积是否定值；解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．利用
得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．因为点A（x1，y1），B（x2，y2），在椭圆上，所以有：，，再利用“点差法”即可判断出结论．解答：解：（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点
的距离之和为定值4，所以点P的轨迹是以
为焦点的椭圆． 又
，所以．故所求方程为
．（Ⅱ）解法一：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），由点关于直线的对称点的性质得：
，解得即R（1，1）．此时
，∴R在曲线Γ包围的范围内．
解法二：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），
由点关于直线的对称点的性质得：
，解得即R（1，1）．∴直线OR的方程：y=x．
设直线OR交椭圆
于G和H，由
得：
或即，．显然点R在线段GH上．
∴R在曲线Γ包围的范围内．
（Ⅲ）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．
由
得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），代入
并整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2-4=0，依题意，△＞0，则
，y1+y2=k（y1+y2）+2n=，从而可得点C的坐标为
，．因为
．所以直线AB与OC的斜率之积为定值．
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．
由
得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．因为点A（x1，y1），B（x2，y2），在椭圆上，所以有：
，两式相减，整理得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，
从而有
．又x1+x2=-x3，y1+y2=-y3，
，．因为
．所以直线AB与OC的斜率之积为定值．
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、向量的运算、斜率的计算公式、点差法、轴对称等基础知识与基本方法，考查了多种方法解决同一个问题、推理能力和计算能力．
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