Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；
（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；
（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：作Ez⊥AD，以E为原点，以 ， 的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，

则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．

∴ =（2，2，﹣2，）， =（﹣1，2，0）， =（0，﹣2，2）．

设平面PBC的法向量为 =（x，y，z），

由 ，可取 =（2，1，3）．

设平面PBE的法向量为 =（a，b，c），

由 ，可取 =（0，1，1），

∴ =

由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为 ．

（2）解：由（1）可知面PBC的法向量为 =（2，1，3），“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于 ；

∵ =（0，2，﹣2）， =（0，2λ，﹣2λ），λ∈（0，1），

则M（0，2λ﹣2，2﹣2λ）， =（0，2λ﹣4，2﹣2λ）．

由 =2λ﹣4+6﹣6λ=0．

解得λ= ，

所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．

【解析】（1）作Ez⊥AD，以E为原点，以 ， 的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．求出平面PBC的法向量、平面PBE的法向量即可得二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于 垂直面PBC的法向量．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．