Question

定义在（m，n）上的可导函数f（x）的导数为f'（x），若当x∈[a，b]?（m，n）时，有|f'（x）|≤1，则称函数f（x）为[a，b]上的平缓函数．下面给出四个结论：
①y=cosx是任何闭区间上的平缓函数；
②y=x²+lnx是[

1

2

，1]上的平缓函数；
③若f（x）=

1

3

x³-mx²-3m²x+1是[0，

1

2

]上的平缓函数，则实数m的取值范围是[-

3

3

，

1

2

]；
④若y=f（x）是[a，b]上的平缓函数，则有|f（a）-f（b）|≤|a-b|．
这些结论中正确的是______（多填、少填、错填均得零分）．

Answer 1

①中，y′=-sinx，|-sinx|=|sinx||≤1恒成立，所以y=cosx是任何闭区间上的平缓函数，故①正确；
②中，y′=2x+

1

x

，当x=1时，|y′|=3＞1，不满足平缓函数的定义，故②错误；
③中，f′（x）=x²-2mx-3m²，
因为f（x）是[0，

1

2

]上的平缓函数，所以|x²-2mx-3m²|≤1恒成立，即-1≤x²-2mx-3m²≤1恒成立，
亦即

x2-2mx-3m2+1≥0① x2-2mx-3m2-1≤0②

在[0，

1

2

]上恒成立，
对①式，
当m＜0时，x²-2mx-3m²+1在[0，

1

2

]上单调递增，最小值-3m²+1≥0，解得-

3

3

≤m≤

3

3

，
所以-

3

3

≤m＜0；
当0≤m≤

1

2

时，x²-2mx-3m²+1的最小值-4m²+1≥0，解得-

1

2

≤m≤

1

2

，
所以0≤m≤

1

2

；
当m＞

1

2

时，x²-2mx-3m²+1的最小值

1

4

-m-3m²+1≥0，解得-

5

6

≤m≤

1

2

，
所以此时m∈∅；
故对①式恒成立得，-

3

3

≤m≤

1

2

；
对②式，结合图象，
只需当x=0，

1

2

时，x²-2mx-3m²-1≤0，即

-3m2-1≤0 1 4 -m-3m2-1≤0

，解得m∈R，
综上，实数m的取值范围是[-

3

3

，

1

2

]，故③正确；
④中，由于y=f（x）是[a，b]上的平缓函数，所以|f′（x）|≤1恒成立，
则存在点c∈（a，b），使得f′(c)=

f(a)-f(b)

a-b

，则|

f(a)-f(b)

a-b

|≤1，
所以|f（a）-f（b）|≤|a-b|，故④正确．