Question

已知f(x)=(

x-1

x+1

)2（x＞1），
（1）若g(x)=

1

f-1(x)

+

x

+2，求g（x）的最小值；
（2）若不等式(1-

x

)•f-1(x)＞m•(m-

x

)对于一切x∈[

1

4

，

1

2

]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）求出f^-1（x），进而求得g（x），利用基本不等式即可求得g（x）的最小值；
（2）原不等式可化为(1+m)

x

+(1-m2)＞0，令u=

x

，则F（u）=（1+m）u+（1-m²）＞0在[

1

2

，

2

2

]上恒成立，根据一次函数的性质可得关于m的不等式组，解出即可；

解答：解：（1）f-1(x)=

1+ x

1- x

（0＜x＜1），
∴g(x)=

1- x

1+ x

+

x

+2=

2

1+ x

+1+

x

≥2

2

，等号当且仅当

2

1+ x

=1+

x

，即x=3-2

2

时取得．
∴g（x）的最小值为2

2

．
（2）不等式即为1+

x

＞m(m-

x

)，也就是(1+m)

x

+(1-m2)＞0，
令u=

x

，则F（u）=（1+m）u+（1-m²）＞0在[

1

2

，

2

2

]上恒成立，
∴F(

1

2

)＞0且F(

2

2

)＞0，解得-1＜m＜

3

2

．

点评：本题考查函数恒成立问题、反函数的求解及基本不等式求最值，考查转化思想，综合性较强，难度较大．