Question

若f（x）=x²在定义域[a，b]（a≠b）上的值域与定义域相同，则b-a=

1

．

Answer 1

分析：根据二次函数的性质，需要讨论区间[a，b]与对称轴z=0的位置关系，故需分类讨论：①若a≥0，则函数f（x）在[a，b]上单调递增，；②若a＜b≤0，f（x）在[a，b]上单调递减，③若a＜0＜b，f（x）在[a，b]上先减后增三种情况分别求解函数的值域，从而可求满足条件的a，b，即可求解b-a

解答：解：①若a≥0，则函数f（x）=x²在定义域[a，b]上单调递增，
由题意可得

a2=a b2=b b＞a

∴a=0，b=1，此时b-a=1
②若a＜b≤0，f（x）=x²在定义域[a，b]上单调递减，
由题意可得

a2=b b2=a

，此时a，b不存在
③若a＜0＜b，f（x）=x²在定义域[a，b]上先减后增
由题意可得，a=0不符合题意
综上可得，b-a=1
故答案为：1

点评：本题主要考查了二次函数的函数单调性在函数的值域求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用