Question

设函数f（x）=x-ae^x-1。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
（3）对任意n个正整数a₁，a₂，…，a_n，记
①求证：（i=1，2，…，n）；
②求证：。

Answer 1

解：（1）f'（x）=
当a≤0时f'（x）>0，f（x）在R上是增函数；
当a>0时，令f'（x） =0，得x=1-lna
若x＜1-lna，则f'（x）>0，从而f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数；
若x>1-lna，则f'（x）＜0，从而f（x）在区间（1-lna，+∞）上是减函数
综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数；
当a>0时，f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数，f（x）在区间（1-lna，+∞）上是减函数。
（2）由（1）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立，
又当a>0时，f（x）在x=1-lna处取最大值，
且f（1-lna）=1-lna-ae^-lna=-lna
令-lna≤0，得a≥1，
故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）。
（3）①由（2）知：当a=1时，恒有成立，
即
∴。
②由①知：
把以上n个式子相乘得
∴
故。