Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，且c=1．
（Ⅰ）求tanA；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于-tan（B+C），进而得到tanA的值；
（Ⅱ）由（I）求出的tanA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，再由tanB和tanC的值，得到B和C的范围及大小关系，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinB和sinC的值，由c的值，sinB和sinC的值，利用正弦定理即可求出a的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把a，c和sinB的值代入即可求出面积．

解答：解：（I）因为tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，tan(B+C)=

tanB+tanC

1-tanBtanC

，（1分）
代入得到，tan(B+C)=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1．（3分）
因为A=180°-B-C，（4分）
所以tanA=tan（180°-（B+C））
=-tan（B+C）=-1．（5分）
（II）因为0°＜A＜180°，由（I）结论可得：A=135°．（7分）
因为tanB=

1

2

＞tanC=

1

3

＞0，
所以0°＜C＜B＜90°．（8分）
所以sinB=

1-cos2B

=

1- 1 1+tan2B

=

5

5

，sinC=

1-cos2C

=

1- 1 1+tan2C

=

10

10

，（9分）
由c=1及

a

sinA

=

c

sinC

得：a=

5

，（11分）
所以△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×1×

5

×

5

5

=

1

2

．（13分）

点评：此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意利用tanB和tanC的值确定出B和C的范围及大小．