Question

对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)-g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f₁(x)=log_a(x-3a)与f₂(x)=(a＞0，a≠1)，给定区间[a+2，a+3]．

(1)若f₁(x)与f₂(x)在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；

(2)讨论f₁(x)与f₂(x)在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由题意a＞0，a≠1且a+2-3a＞0 　　所以0＜a＜1． 　　(2)|f1(x)-f2(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)| 　　令|f1(x)-f2(x)|≤1 　　得-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤l　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 　　∵　0＜a＜1 　　又[a+2，a+3]在x=2a的右侧 　　∴　g(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2，a+3]上为减函数 　　从而g(x)max=g(a+2)=loga(4-4a) 　　g(x)min=g(a+3)=loga(9-6a) 　　于是①式成立的充要条件是 　　 　　解此不等式组得0＜a≤ 　　故当0＜a≤时，f1(x)与f2(x)在[a+2，a+3]上是接近的； 　　当1>a>时，f1(x)与f2(x)在[a+2，a+3]上是非接近的．

提示：

本题是考查学生创新能力的综合题，首先学生读懂新运算定义，再利用函数单调性和不等式知识才可求出．