Question

（满分12分）

       已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）－x²+y_=f（x）－x²+x.

   （1）若f（2）－3,求f（1）;又若f（0）=a,求f（a）;

   （2）设有且仅有一个实数x₀,使得f（x_0­）= x_0,求函数f（x）的解析表达式.

Answer 1

（1）因为对任意xεR，有f（f（x）－ x² + x）=f（x）－ x² +x，所以f（f（2）－ 2²+2）=f（2）－ 2²+2.

         又由f（2）=3，得f（3－2²+2）－3－2²+2，即f（1）=1.

         若f（0）=a，则f（a－0²+0）=a－0²+0，即f（a）=A．

   （2）因为对任意xεR，有f（f（x））－ x² +x）=f（x）－ x² +x.

         又因为有且只有一个实数x₀,使得f（x₀）－ x_0.  所以对任意xεR，有f（x）－ x² +x= x_0.

         在上式中令x= x₀,有f（x₀）－x + x₀₌ x_0,   又因为f（x₀）－ x₀，所以x_0－ x=0，故x₀₌0或x₀=1.

         若x₀=0，则f（x）－ x² +x=0，即f（x）= x² –x. 但方程x² –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，

         故x₂≠0.  若x₂=1,则有f（x）－ x² +x=1，即f（x）= x² –x+1.易验证该函数满足题设条件.

         综上，所求函数为f（x）= x² –x+1（xR）.