Question

已知函数f（x）满足（其中为f（x）在点的导数，C为常数）
（I）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实根，求常数C；
（II）在（I）的条件下，若，求函数f（x）的图象与X轴围成的封闭图形的面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可解得c的值，然后把三次方程f（x）=0有且只有两个不等的实根转化为函数的极大值或极小值为0来求解；
（II）结合题意和（I）可的c=1，可解出三次方程x³-x²-x+1=0的两个根为±1，然后由定积分可知图象的面积为，解出即可．
解答：解：（I）∵函数f（x）满足
求其导数可得：
把x=代入可得，解得f′（）=-1
∴，
∴f′（x）=3x²-2x-1
由f′（x）=0，可解得，x₂=1，
并且当x∈（-∞，）时f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，1）时
f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故函数f（x）在x=处取到极大值，在x=1处取到极小值f（1）=c-1，
所以当方程f（x）=0有且只有两个不等的实根，则只需=0或f（1）=0，
解得或c=1．
（II）在（I）的条件下，若，则，
∴c=1，故f（x）=x³-x²-x+1
可解得方程f（x）=x³-x²-x+1=0的两个根为±1，
∴函数f（x）的图象与对轴围成的封闭图形的面积为


点评：本题为导数与定积分的综合应用，正确求解c的值是解决问题的关键，属中档题．