Question

已知函数f（x）＝－x²＋ax－lnx（a∈R）．

   （1）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件；

   （2）当函数f（x）在[，2]上单调时，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）＝－2x＋a－＝（x>0），

∴f（x）既有极大值又有极小值⇔方程2x²－ax＋1＝0有两个不等的正实数根x₁，x₂．

（3分）

∴，∴a>2，

∴函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件是a>2．（6分）

   （2）f′（x）＝－2x＋a－，令g（x）＝2x＋，

则g′（x）＝2－，g（x）在[，]上递减，在（，2）上递增．（8分）

又g（）＝3，g（2）＝，g（）＝2，

∴g（x）_max＝，g（x）_min＝2．（10分）

若f（x）在[，2]单调递增，则f′（x）≥0即a≥g（x），∴a≥．

若f（x）在[，2]单调递减，则f′（x）≤0，即a≤g（x），∴a≤2．

所以f（x）在[，2]上单调时，则a≤2或a≥．（13分）