题目内容

已知椭圆C1： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，x轴被抛物线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l：y=kx与C₂相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C₁相交于D，E．
①证明： $数学公式$ • $数学公式$ 为定值；
②记△MDE的面积为S，试把S表示成k的函数，并求S的最大值．

解：（1）由已知 $\text{[math]}$ ，
又a²=b²+c²，可解得a=2b ①
在y=x²-b中，令y=0，得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ②
由①②得，a=2，b=1
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（2）①证明：由 $\text{[math]}$ 得x²-kx-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1
∵M（0，-1），
∴ $\text{[math]}$ =x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）= $\text{[math]}$
∴MA⊥MB
∴MD⊥ME
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0
②解：设A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂）
∵A在y=x²-1上，
∴ $\text{[math]}$
即∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴直线AM方程为：y=x₁x-1代入 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，同理 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ 在t∈[2，+∞）时，u为增函数，
∴ $\text{[math]}$ ，此时t=2
∴k=0时， $\text{[math]}$
分析：（1）由已知 $\text{[math]}$ ，根据a²=b²+c²，可得a=2b，又x轴被抛物线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．
，从而可求得a=2，b=1，故可求C₁，C₂的方程；
（2）①由 $\text{[math]}$ 得x²-kx-1=0，从而可证明MA⊥MB，所以MD⊥ME，故 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0
②设A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），可求得直线AM、BM的方程，分别代入 $\text{[math]}$ ，从而求得D，E的坐标，进而可得面积 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ，借助于函数的单调性可求S的最大值．
点评：本题以椭圆的性质为载体，考查曲线方程的求解，考查利用向量的知识证明向量的垂直，同时考查函数最值的求法，应注意基本不等式的使用条件，否则会做错．