Question

设公差不为0的等差数列{a_n}的首项为1，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），由a₂，a₅，a₁₄构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a_n；
（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1--（1-）=，再由（Ⅰ）可求得b_n，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T_n；
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，
∴=a₂a₁₄，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍去），或d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）由已知，，n∈N^*，
当n=1时，=；
当n≥2时，=1--（1-）=．
∴=，n∈N^*．
由（Ⅰ），知a_n=2n-1，n∈N^*，
∴b_n=，n∈N^*．
又T_n=+++…+，
则T_n=++…++．
两式相减，得T_n=+（++…+）-=--，
∴T_n=3-．
点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．