Question

【题目】已知实数，函数.

（1）当时，求函数的值域；

（2）当时，判断函数的单调性，并证明；

（3）求实教的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.

Answer 1

【答案】（1）． （2）x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（﹣1，0]时，f（x）递减；

（3）．

【解析】

（1）判a＝0时，化简函数，即可求f（x）的最小值；

（2）先化简函数，得出函数的单调性，再利用定义进行证明；

（3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得在区间上，恒有2ymin＞ymax．

由题意，f（x）的定义域为（﹣1，1），且f（x）为偶函数．

（1）a＝0时，

∴x∈（﹣1，1）时，， , ∴的值域为．

（2）a＝1时，

∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（﹣1，0]时，f（x）递减；

由于f（x）为偶函数，

∴只对x∈[0，1）时，证明f（x）递增．

设0≤x1＜x2＜1，

∴，得

∴x∈[0，1）时，f（x）递增成立；同理证明x∈（﹣1，0]时，f（x）递减；

∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（﹣1，0]时，f（x）递减；

（3）设，则

∵，

∴，∴

从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间上，恒有2ymin＞ymax．

①当时，在上单调递增，∴，由2ymin＞ymax得，

从而；

②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，

由2ymin＞ymax得，从而；

③当时，在上单调递减，在上单调递增，

∴ymin＝2，ymax＝，

由2ymin＞ymax得，从而；

④当a≥1时，在上单调递减，∴，

由2ymin＞ymax得，从而；

综上，．