Question

选修4﹣4；坐标系与参数方程

已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：上．

（1）求点P的轨迹方程和曲线的直角坐标方程：

（2）求|PQ|的最小值．

Answer 1

考点：

参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．

专题：

计算题．

分析：

（1）设点P的坐标为（x，y），则有 ，消去参数α，得到点P的轨迹方程．曲线C 的极坐标方程即

10=（sinθ﹣cosθ），依据x=ρcosθ，y=ρsinθ，化为直角坐标方程．

（2）如图，由题意可得点Q在直线x﹣y+10=0 上，点P在半圆上，求出半圆的圆心C到直线的距离，将此距离减去半径1，

即为所求．

解答：

解：（1）设点P的坐标为（x，y），则有 ，消去参数α，可得：（x﹣1）²+y²=1．

由于α∈[0，π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆：（x﹣1）²+y²=1（y≥0）．

∵曲线C：，即 10=（sinθ﹣cosθ），

即 ρsinθ﹣ρcosθ=10，故曲线C的直角坐标方程：x﹣y+10=0．

（2）如图所示：由题意可得点Q在直线x﹣y+10=0 上，点P在半圆上，

半圆的圆心C（1，0）到直线x﹣y+10=0的距离等于 =．

即|PQ|的最小值为 ．

点评：

本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．