Question

（1）已知曲线C的极坐标方程为ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

；
（Ⅰ）若以极点为原点，极轴所在的直线为x轴，求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值
（2）已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a2+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0
（I）求证：a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

；
（II）求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）（I）把曲线C的极坐标方程为ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

；
化为直角坐标方程为

x2

9

+

y2

4

=1，
（II）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，则P（3cosθ，2sinθ），
可得3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin（θ+∅），故当sin（θ+∅）=1时，3x+4y 取得最小值为

145

．
（2）（I）根据柯西不等式可得（a2+

1

4

b2+

1

9

c2）（1+2²+3²）≥（a×1+

b

2

×2+

c

3

×3）2=（a+b+c）²
∴a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c) 2

14

（II）∵a+b+c+2-2m=0，a2+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0
∴1-m≥

(2m-2)2

14

解得：-

5

2

≤m≤1．