Question

已知函数f（x）=x²-2，g（x）=xlnx，
（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立， 求实数a的取值范围；
（2）试判断方程ln（1+x²）-f（x）-k=0有几个实根。

Answer 1

解：（1）若对一切， 恒成立， 即在恒成立， ∴在恒成立， 令， 则， 当时，x=1，F（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， ∴， ∴只需a≤4。 （2）将原方程化为， 令，G（x）为偶函数，且G（0）=1， 当x>0时，， （-∞，-1） -1 （-1，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞） + 0 - 0 + 0 - 递增 极大值+ln2 递减 极小值1 递增 极大值+ln2 递减 ∴，且， ∴当时，无解； 当或k=1时，三解； 当时，四解； 当k<1时，两解。