Question

如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求三棱锥P-DEF的体积；
（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明PD⊥EF，只需证明PD⊥平面PEF，利用线面垂直的判定定理可以证明；
（2）解法1：证明PE⊥PF，利用等体积转化，即可求得三棱锥P-DEF的体积；
解法2：取EF的中点M，连接PM，证明PM⊥EF，利用等体积转化，即可求得三棱锥P-DEF的体积；
（3）证明PE⊥平面PDF，可得∠PDE为DE与平面PDF所成的角，在Rt△PDE中，可以求得．
解答：（1）证明：依题意知图①折前AD⊥AE，CD⊥CF，
∴PD⊥PE，PF⊥PD，-------------------------------（2分）
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF-----------------------（3分）
又∵EF?平面PEF，∴PD⊥EF--------------------------（4分）
（2）解法1：依题意知图①中AE=CF=，∴PE=PF=，
在△BEF中，----（5分）
在△PEF中，PE²+PF²=EF²，∴PE⊥PF
∴--------------------（7分）
∴=．-----------（8分）
解法2：依题意知图①中AE=CF=，∴PE=PF=，
在△BEF中，----------------------------------（5分）
取EF的中点M，连接PM，则PM⊥EF，∴---------------（6分）
∴---------------（7分）
∴=．-----------------------（8分）】
（3）解：由（2）知PE⊥PF，又PE⊥PD，∴PE⊥平面PDF-------（10分）
∴∠PDE为DE与平面PDF所成的角，-------------------------------------------（11分）
在Rt△PDE中，∵，-----------------------（12分）
∴-----------------------------------（14分）
点评：本题考查线线垂直，考查线面角，考查三棱锥的体积，解题的关键是掌握线面垂直的判定，利用转化底面，求三棱锥的体积．