题目内容

已知函数 $数学公式$ 为偶函数．
（I）求k的值；
（II）若方程 $数学公式$ 有且只有一个根，求实数a的取值范围．

解：（I）由题意得f（-x）=f（x），
即 $\text{[math]}$ ，
化简得 $\text{[math]}$ ，
从而4^（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，
∴ $\text{[math]}$
（II）由题意，原方程化为 $\text{[math]}$ 且a•2^x-a＞0
即：令2^x=t＞0 $\text{[math]}$
函数y=（1-a）t²+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）如图所示：

若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况，
可见：a＞1，即二次函数y=（1-a）t²+at+1的
开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式（2），
当二次函数y=（1-a）t²+at+1的开口向上，
只能是与x轴相切的时候，
此时a＜1且△=0，即 $\text{[math]}$ 也满足不等式（2）
综上：a＞1或 $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）根据方程 $\text{[math]}$ 有且只有一个实根，化简可得 $\text{[math]}$ 有且只有一个实根，令t=2^x＞0，则转化成新方程有且只有一个正根，结合函数的图象讨论a的取值，即可求出实数a的取值范围．
点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，数形结合的思想．属于中档题．