Question

已知函数为偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）记集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，，判断λ与E的关系；
（Ⅲ）当x∈（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据函数为偶函数f（-x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值；
（II）由（I）中函数f（x）的解析式，将x∈{-1，1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案
（III）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，x∈，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值．
解答：解：（I）∵函数为偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即=
∴2（a+1）x=0，
∵x为非零实数，
∴a+1=0，即a=-1
（II）由（I）得
∴E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={0，}
而====
∴λ∈E
（III）∵＞0恒成立
∴在上为增函数
又∵函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，
∴，
又∵，m＞0，n＞0
∴m＞n＞0
解得m=，n=
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中利用奇偶性求出a值，进而得到函数的解析式，是解答的关键．