Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

（1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的单调性
（2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性的定义说明，设x₁，x₂∈[1，+∞），x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，即可得到函数的单调性；
（2）先用分离常数法把函数分离，再分

a

和1的大小进行讨论，并利用函数的单调性来求f（x）的最小值，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a＜0时，设x₁，x₂∈[1，+∞），x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1 +2x1+a

x1

-

x 2 2 +2x2+a

x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

∵x₁，x₂∈[1，+∞），x₁＜x₂，a＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在[1，+∞）上为增函数  …（6分）
（2）函数f（x）=x+

a

x

+2在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
若

a

＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）min=f（

a

）=2

a

+2．
若

a

≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）min=f（1）=a+3．
而不等式f（x）＞0恒成立，说明a+3＞0，得a＞-3
求实数a的取值范围（-3，+∞）．

点评：本题主要考查利考查了利用导数研究函数的单调性，以及用函数的值域解决不等式恒成立的条件，属于中档题．还考查分离常数法在求函数值域中的应用，分离常数法求函数值域一般适用于分式函数，且分子为二次形式，而分母为一次形式的题．