Question

已知数列， 满足条件：， ．
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和，并求使得对任意N^*都成立的正整数的最小值．

Answer 1

（1）（2）正整数的最小值是5

试题分析：（1）由数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，只要证明即可
（2）由，利用裂项相消法，可得，
然后证明数列是一个递增数列，当时，取得最小值，要使得对任意N^*都成立，结合（1）的结果，只需，解之即可
（1）∵
∴，∵，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列 ．
∴∴
（2）∵，
∴
．
∵，又，
∴N^*，即数列是递增数列．
∴当时，取得最小值．
要使得对任意N^*都成立，结合（1）的结果，只需，由此得．∴正整数的最小值是5．