Question

已知二项式（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（1）求展开式的常数项．
（2）求展开式中各项的系数之和．
（3）求展开式的第四项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式，令x的次数为0，即可求出常数项．
（2）令x=1，即可得到展开式中各项的系数之和
（3）利用二项展开式的通项公式，求T₄即可．

解答：解：二项展开式的通项公式为Tk+1=

C

k n

?(

3	x

)n-k?(-

1

2 3 x

)k=

C

k n

?(

3	x

)n-2k?(-

1

2

)k=

C

k n

?(

3	x

)n-2k?(-

1

2

)k?x

n-2k

3

，
前三项的系数分别为1，-

1

2

n，

1

4

×

n(n-1)

2

，
∵前三项系数的绝对值成等差数列，
∴1+

1

8

n(n-1)=n，解得n=8．即Tk+1=

C

k 8

?(-

1

2

)k?x

8-2k

3

．
（1）常数项为T5=

C

4 8

?(-

1

2

)4=

35

8

．
（2）令x=1，即可得到展开式中各项的系数之和为（1-

1

2

） 8=(

1

2

)8=

1

256

．
（3）第四项T4=

C

3 8

?(-

1

2

)3?x

2

3

=-7x

2

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的基本应用，利用展开式的通项公式是解决本题的关键．