题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F1（-c，0）、F2（c，0）分别为其左、右焦点，A、B分别为其上顶点、右顶点，且满足∠F1AB=90°．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R满足
RP
=-2
PF2
？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
（1）由已知得，A（0，b），B（a，0），
则
AF1
=(-c，-b)，
AB
=(a，-b)
∵∠F1AB=90°，∴
AF1
•
AB
=-ac+b2=0，∴b2=ac，
∴c2+ac-a2=0，即(
c
a
)2+
c
a
-1=0，解得e=
c
a
=
5
-1
2
；
（2）显然直线l的斜率存在．
设l：y=k（x-c），得R（0，-kc）．设P（x0，y0），
由
RP
=-2
PF2
，得（x0，y0+kc）=-2（c-x0，-y0），
得P（2c，kc），代入椭圆方程得，
4c2
a2
+
k2c2
b2
=1，又b2=ac，
所以4(
c
a
)2+k2•
c
a
-1=0，
将
c
a
=
5
-1
2
代入得，k2=
5-3
5
2
＜0，矛盾．
故不存在满足题意的直线l．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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