Question

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知AB=AD=4，AA₁=3，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=，
（1）求AC₁的长；
（2）求平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer 1

解：（1）记A₁在面ABCD内的射影为O，
∵∠A₁AB=∠A₁AD，∴O在∠BAD的平分线上，
又AB=AD，∴∠BAD的平分线即菱形ABCD的
对角线AC，故O在AC上；∵cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB
∴cos∠A₁AO=，∴sin∠A₁AO=，AO=
cos∠ACC₁=-；又AC=4，在△ACC₁中由余弦定理得AC₁=9；
所以AC₁=9；

（2）在△A₁AO中，A₁O=，
V_{ABCD-A1B1C1D1}==24．
注：求AC₁的长还可以用向量：，平方即可．
分析：（1）记A₁在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，求AC₁的长
（2）求出底面面积，求出高，即可求平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．
点评：本题考查几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．解题关键在于，正确解三角形．