Question

已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，
故椭圆方程为． 　　　　 …（5分）
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为M（0，1），F（1，0），所以k_PQ=1． …（7分）
于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=-，x₁x₂=． …（9分）
由题意应有，所以x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，
所以2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0．
整理得2×-（m-1）+m²-m=0．
解得m=-或m=1． …（12分）
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．
当m=-时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-．…（13分）
分析：（Ⅰ）由△△OMF是等腰直角三角形，可得b=1，a=b=，从而可得椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．