Question

【题目】已知数列的各项均为非负数，其前项和为，且对任意的，都有.

（1）若， ，求的最大值；

（2）若对任意，都有，求证： .

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据已知条件变形可得，即，设，根据累加求和可得，根据不等式，可以得出的取值范围，又因为，便可求出的最大值；（2）首先假设，根据已知条件得 ，于是通过证明对于固定的值，存在，由此得出与矛盾，所以得到，再设，则根据可得，接下来通过放缩，可以得到，于是可以得出要证的结论.

试题解析：（1）由题意知，设 ，

则，且，

，

所以，

.

（2）若存在，使得，则由，

得，

因此，从项开始，数列严格递增，

故 ，

对于固定的，当足够大时，必有，与题设矛盾，所以不可能递增，即只能.

令， ，

由，得， ，

故 ，

，

所以，

综上，对一切，都有.