Question

【题目】已知函数f（x）= sin2x﹣ cos2x
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若将f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，当x∈[ ]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ = ，

因此f（x）的最小正周期为 =π．

令 ，解得 ，

所以，f（x）的单调增区间为

（2）解：将f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin（x﹣ ）﹣ 的图象，

当x∈[ ]时，x﹣ ∈[ ， ]，

sin（x﹣ ）∈[ ，1﹣ ]，

即函数g（x）的值域为[ ，1﹣ ]

【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
【考点精析】掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换是解答本题的根本，需要知道图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．