题目内容

已知向量 $数学公式$ =（sinx， $数学公式$ ）， $数学公式$ =（cosx，-1）．
（1）当 $数学公式$ ∥ $数学公式$ 时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（ $数学公式$ + $数学公式$ ）• $数学公式$ ，求f（x）的值域．（其中x∈（0， $数学公式$ ））

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴tanx=- $\text{[math]}$
∴cos²x-sin2x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）∵f（x）=2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =2sinxcosx+2cos²x $\text{[math]}$
=sin2x+cos2x+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∵x∈（0， $\text{[math]}$ ））
∴2x $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴sin $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴f（x）∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，利用向量平行的坐标表示可求tanxx，代入cos²x-sin2x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可求
（2）利用向量的数量积的坐标表示及辅助角公式对函数化简可得f（x）=2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ ═ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，结合已知x∈（0， $\text{[math]}$ ）及正弦函数的性质可求函数的值域
点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及通角平方关系等三角公式的综合应用在化简三角函数中的应用，正弦函数的性质的应用是求解（2）的关键