Question

【题目】若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“数列”．

（1）若数列的前项和，，试判断数列是否为“数列”？说明理由；

（2）若公差为的等差数列为“数列”，求的取值范围；

（3）若数列为“数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．

Answer 1

【答案】（1）不是，见解析（2）（3）

【解析】

（1）利用递推关系求出数列的通项公式，进一步验证时，是否为数列中的项，即可得答案；

（2）由题意得，再对公差进行分类讨论，即可得答案；

（3）由题意得数列为等差数列，设数列的公差为，再根据不等式得到公差的值，即可得答案；

（1）当时，

又，所以．

所以

当时，，而，

所以时，不是数列中的项，故数列不是为“数列”

（2）因为数列是公差为的等差数列，

所以．

因为数列为“数列”

所以任意，存在，使得，即有．

①若，则只需，使得，从而得是数列中的项．

②若，则．此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．综上，．

（3）由题意，所以，

又因为，且数列为“数列”，

所以，即，所以数列为等差数列．

设数列的公差为，则有，

由，得，

整理得，①

．②

若，取正整数，

则当时，，

与①式对应任意恒成立相矛盾，因此．

同样根据②式可得，

所以．又，所以．

经检验当时，①②两式对应任意恒成立，

所以数列的通项公式为．