Question

已知函数f(x)在(-1，1)上有定义。f()，-1。当且仅当0＜x＜1时，f(x)＜0，且对任意x，y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f()，试证明；

　　(1)f(0)=0且f(x)为奇函数；

　　(2)若数列{x_n}满足x₁=，x_n+1=，求f(x_n)；

　　(3)在(2)的条件下，求。

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)令x=y=0，由f(x)+f(y)=f()，得f(0)=0。 　　  又令y=-x，则f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0。 　　  ∴ f(-x)=-f(x)。  ∴ f(x)为奇函数。 　　 (2)∵ x1=＞0，=，易知xn+1＞0， 　　  即xn＞0，且xn≠1，xn+1=＜=1， 　　  ∴ f(xn+1)=f()=f(xn)+f(xn)=2f(xn)。 　　  ∴ {f(xn)}是以f(x1)=f()=-1为首项，2为公比的等比数列。 　　  ∴ f(xn)=-2n-1。 　　  (3)===2