题目内容
已知函数f（x）=x2-ax+a（a∈R）的图象与x轴相切，且在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设函数g（x）=xf（x），求g（x）的极值；
（III）设函数h（x）=g（x）+x-k，当h（x）存在3个零点时，求实数k的取值范围．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设函数g（x）=xf（x），求g（x）的极值；
（III）设函数h（x）=g（x）+x-k，当h（x）存在3个零点时，求实数k的取值范围．
分析：（I）由题意，令△=a2-4a=0，解得a=0或4．再分别验证是否符合条件即可；
（II）g（x）=xf（x）=x3-4x2+4x，g′（x）=3x2-8x+4，
令g′（x）=0，解得x=
或2．
列表如下：
即可得出极值．
（III）h（x）=g（x）+x-k=x3-4x2+5x-k，
∴h′（x）=3x2-8x+5，令h′（x）=0，解得x=
或1．
可知h（x）极大值=h（1），h(x)极小值=h(
)．
由题意h（x）存在3个零点，则
，解出即可．
（II）g（x）=xf（x）=x3-4x2+4x，g′（x）=3x2-8x+4，
令g′（x）=0，解得x=
| 2 |
| 3 |
列表如下：
即可得出极值．（III）h（x）=g（x）+x-k=x3-4x2+5x-k，
∴h′（x）=3x2-8x+5，令h′（x）=0，解得x=
| 5 |
| 3 |
可知h（x）极大值=h（1），h(x)极小值=h(
| 5 |
| 3 |
由题意h（x）存在3个零点，则
|
解答：解：（I）由题意，令△=a2-4a=0，解得a=0或4．
当a=0时，f（x）=x2，在（0，+∞）单调递增，不符合题意；
当a=4时，f（x）=（x-2）2，在区间（0，2）上单调递减，符合题意．
∴f（x）=x2-4x+4．
（II）g（x）=xf（x）=x3-4x2+4x，g′（x）=3x2-8x+4，
令g′（x）=0，解得x=
或2．
列表如下：∴g(x)极大值=g(
)=
，g（x）极小值=g（2）=0．
（III）h（x）=g（x）+x-k=x3-4x2+5x-k，
∴h′（x）=3x2-8x+5，令h′（x）=0，解得x=
或1．
可知h（x）极大值=h（1），h(x)极小值=h(
)．
由题意h（x）存在3个零点，则
，解得
＜k＜2．
所以实数k的取值范围是(
，2)．
当a=0时，f（x）=x2，在（0，+∞）单调递增，不符合题意；
当a=4时，f（x）=（x-2）2，在区间（0，2）上单调递减，符合题意．
∴f（x）=x2-4x+4．
（II）g（x）=xf（x）=x3-4x2+4x，g′（x）=3x2-8x+4，
令g′（x）=0，解得x=
| 2 |
| 3 |
列表如下：
∴g(x)极大值=g(| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 27 |
（III）h（x）=g（x）+x-k=x3-4x2+5x-k，
∴h′（x）=3x2-8x+5，令h′（x）=0，解得x=
| 5 |
| 3 |
可知h（x）极大值=h（1），h(x)极小值=h(
| 5 |
| 3 |
由题意h（x）存在3个零点，则
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| 27 |
所以实数k的取值范围是(
| 50 |
| 27 |
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点等是解题的关键．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|