Question

10．若S_n为正数数列{a_n}的前n项和且满足a₂=2，S_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{2{a}_{n}}$S_n+a_n+1，则a₃与a₅的等比中项为±8．

Answer 1

分析 通过a₂=2代入计算可知a₁=1，通过对S_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{2{a}_{n}}$S_n+a_n+1两边同时除以a_n+1可知$\frac{{S}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$+1，变形可知$\frac{{S}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-2=$\frac{1}{2}$•（$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2），进而可知数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2}是首项为-1、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，利用a_n=S_n-S_n-1化简可知数列{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵a₂=2，
∴a₁+2=$\frac{2}{2{a}_{1}}$•a₁+2，即a₁=1，
S_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{2{a}_{n}}$S_n+a_n+1，
∵S_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{2{a}_{n}}$S_n+a_n+1，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-2=$\frac{1}{2}$•（$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2），
又∵$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$-2=-1，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2}是首项为-1、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）a_n，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）a_n-（2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）a_n-1，
整理得：a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1，
∴a₃与a₅的等比中项为±a₄=±2³=±8，
故答案为：±8．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．注：由于本题求第3、5项容易计算，亦可直接代入计算．