Question

火箭发射后t s的速度为v(t),假定0≤t≤10,对函数v(t)按f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(x_n)Δx式所作的和具有怎样的实际意义?

Answer 1

思路:本题考查“近似代替”“无限细分”和“无穷积累”的数学思想方法.

探究:将区间［0,10］等分成n个小区间,每个小区间的长度为Δt,在每个小区间上取一点,依次为t₁,t₂,…,t_i,…,t_n,虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以可以用v(t₁)来代替火箭在第一个小区间上的速度,这样v(t₁)Δt≈火箭在第一个时段内运行的路程;同理,v(t₂)Δt≈火箭在第二个时段内运行的路程,从而S_n=v(t₁)Δt+v(t₂)Δt+…+v(t_n)Δt≈火箭在10 s内运行的总路程.

这就是函数v(t)在时间区间［0,10］上按f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(x_n)Δx所作的和的实际背景.

当Δt无限趋近于0,S_n就是无限趋近于火箭在10 s内所运行的总路程.