题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则
a2
|ON|2
+
b2
|OM|2
=
 
．
分析：设A（xA，yA ），B （xB，yB ），则可得切线PA、PB的方程，即可得到A，B 是xP•x+yP•y=b2 和圆x2+y2=b2 的交点，求出点M（
b2
xP
，0），N（0，
b2
yP
），从而得到
a2
|ON|2
+
b2
|OM|2
=
a2yP2
b4
+
a2xP2
b4
=（
xP2
a2
+
yP2
b2
）•
a2
b2
=
a2
b2
．
解答：解：设A（xA，yA ），B （xB，yB ），则切线PA、PB的方程分别为 xA•x+yA•y=b2，
xB•x+yB•y=b2．由于点P 是切线PA、PB的交点，
故点P的坐标满足切线PA的方程，也满足切线PAB的方程．
故A，B 是xP•x+yP•y=b2 和圆x2+y2=b2 的交点，故点M（
b2
xP
，0），N（0，
b2
yP
）．
又
xP2
a2
+
yP2
b2
=1，
∴
a2
|ON|2
+
b2
|OM|2
=
a2yP2
b4
+
a2xP2
b4
=（
xP2
a2
+
yP2
b2
）•
a2
b2
=
a2
b2
，
故答案为：
a2
b2
．
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到故A，B 是xP•x+yP•y=b2 和圆x2+y2=b2 的交点，是解题的难点和关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网