Question

如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD.

   (1)求二面角A-PB-D的大小,

   (2)在线段PB上是否存在一点E,使PC⊥平面ADE?若存在,确定E点的位置,若不存在,说明理由.

Answer 1

(1)解法一:联结AC交DB于点O.       ∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.

又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,    ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.

作OF⊥PB于点F,联结AF,则AF⊥PB. ∴∠OFA就是二面角A-PB-D的平面角.

∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB. 令PD=AD=2，则在RTABC中,PA=,AB=2.

   ∴PB=,∴.

   ∴在RTAOF中,sin,∴.

   ∴二面角A-PB-D的大小为.

   解法二:建立如图所示的直角坐标系.

       联结AC,交BD于点O,取PA中点G,联结DG.

∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.

       又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

       ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.

       ∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB.

       ∴AB⊥平面PAD.

       ∵PD=AD,G为PA中点, ∴GD⊥平面PAB.

       故向量分别是平面PBD与平面PAB的法向量.

       令PD=AD=2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴=(-2，2，0).

       ∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴=(1,0,1).

∴向量的夹角余弦为，

∴,∴二面角A-PB-D的大小为.

(2)解法一: 当点E是线段PB中点时,有PC⊥平面ADE.

证明如下:

       取PC中点H,联结EH,DH,则有EH∥BC,

又BC∥AD,故有EH∥AD.     ∴平面ADE即平面ADHE.

     ∵PD=DC,H为PC中点, ∴PC⊥DH.又∵PD⊥平面ABCD，

      AD⊥CD，∴AD⊥PC.

∴PC⊥平面ADHE,即PC⊥平面ADE.

解法二：建立如图所示的直角坐标系.

     ∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC.

  设E是线段PB上的一点，令.

     令PD=AD=2，则P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

 ∴(-2,0,2),(2,2,-2),(0,2,-2).

∴. ∴.

令2(-)=0,得.

∴当,即点E是线段PB中点时,有AE⊥PC.又∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC.∴当点E是线段PB中点时,有PC⊥平面ADE.