题目内容

已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R）， $数学公式$ ．
（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式：1+e^f（x）+g（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=1时，记h（x）=f（x）-g（x），过点（1，-1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

解：（I）当a=3时，原不等式可化为：1+e^ln3x+ $\text{[math]}$ ＞0；
等价于 $\text{[math]}$ ，解得x $\text{[math]}$ ，
故解集为 $\text{[math]}$
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ 对x≥1恒成立，所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，
故a的取值范围为：[1，+∞）
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x₀， $\text{[math]}$ ），
∴切线方程：y+1= $\text{[math]}$ ，将点T坐标代入得： $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ，①
设g（x）= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）_极大=g（1）=1＞0，故g（x）_极，小=g（2）=ln2+ $\text{[math]}$ ＞0，．
又g（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ +12-6-1=-ln4-3＜0，
由g（x）在其定义域上的单调性知：g（x）=0仅在（ $\text{[math]}$ ，1）内有且仅有一根，
方程①有且仅有一解，
故符合条件的切线有且仅有一条．
分析：（I）把a=3代入化简后不等式易解；
（Ⅱ）把恒成立问题转化为函数的最值来求解；
（Ⅲ）设出切点，用导数工具刻画出函数的单调性和关键点，进而得出切线的情况．
点评：本题为函数与导数的综合，涉及不等式的解法和函数恒成立问题以及切线问题，属中档题．