Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R．
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）若-

1

2

≤a≤

1

2

，求f（x）的最小值．

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），
此时，f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，
f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），此时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）当x≤a时，
f（x）=x2-x+a+1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

∵a≤

1

2

，故函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1
当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，
∵a≥-

1

2

故函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）
=a²+1．
综上得，当-

1

2

≤a≤

1

2

时，函数f（x）的最小值为a²+1．